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广州大学附中九年级数学中考模拟(2018年上期)带参考答案与解析

下列各式结果是负数的是(  )
A. ﹣(﹣3) B. ﹣|﹣3| C. 3﹣2 D. (﹣3)2

【答案】B
【解析】
根据相反数、绝对值、乘方,进行化简,即可解答.
A、,故错误.
B、,正确.
C、,故错误.
D、,故错误.
所以B选项是正确的.

下面的图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】试题解析:D是轴对称图形.
故选D.

某校九年级三班的团员在爱心助残捐款活动中,捐款情况如下(单位:元):10、8、12、15、10、11、12、9、13、10,关于这组数据表述错误的是(  )
A. 众数是10元 B. 中位数是10元
C. 平均数是11元 D. 极差是7元

【答案】B
【解析】
根据中位数、众数、极差的概念求解.
这组数据按照从小到大的顺序排列为:8、9、10、10、10、11、12、12、13、15,
则众数为10,
中位数为: ,
极差为:15-8=7,
平均数为: .
所以B选项是正确的.

点A(a,3)与点B(﹣4,b)关于原点对称,则a+b= .

【答案】1
【解析】
试题分析:根据平面内两点关于关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,
∴a+(﹣4)=0,3+b=0,
即:a=4且b=﹣3,
∴a+b=1.

下列计算,结果等于a4的是(  )
A. a+3a B. a5﹣a C. (a2)2 D. a8÷a2

【答案】C
【解析】
根据同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减;同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘进行计算即可.
A.a+3a=4a,错误;
B.a5和a不是同类项,不能合并,故此选项错误;
C.(a2)2=a4,正确;
D.a8÷a2=a6,错误.
故选C.

若分式的值为零,则x等于( )
A. 2 B. -2 C. D. 0

【答案】B
【解析】试题分析:∵,∴x=±2,当x=2时,2x﹣4=0,∴x=2不满足条件.
当x=﹣2时,2x﹣4≠0,∴当x=﹣2时分式的值是0.故选B.

关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】根据一元二次方程根的判别式
进行计算即可.
根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根,
解得:
根据二次项系数 可得:
故选D.

如图,抛物线过点和点,且顶点在第四象限,设,则的取值范围是( ).

A. B. C. D.

【答案】B
【解析】试题分析:∵抛物线)过点(﹣1,0)和点(0,﹣3),∴0=a﹣b+c,﹣3=c,∴b=a﹣3,∵当x=1时,=a+b+c,∴P==a+a﹣3﹣3=2a﹣6,∵顶点在第四象限,a>0,∴b=a﹣3<0,∴a<3,∴0<a<3,∴﹣6<2a﹣6<0,即﹣6<P<0.故选B.

如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为,AC=2,则sinB的值是( ).

A. B. C. D.

【答案】A
【解析】试题分析:求角的三角函数值,可以转化为求直角三角形边的比,连接DC.根据直径所对的圆周角是直角,得∠ACD=90°.根据同弧所对的圆周角相等,得∠B=∠D.∴sinB=sinD==
故选:A.

亚洲陆地面积约为4400万平方千米,将44000000用科学记数法表示为_____.

【答案】4.4×107
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
44000000=4.4×107,
故答案为:4.4×107.

因式分解:(x+2)x﹣x﹣2=_____.

【答案】(x+2)(x﹣1)
【解析】通过提取公因式(x+2)进行因式分解即可.
(x+2)x﹣x﹣2
=(x+2)x-(x+2)
=(x+2)(x﹣1),
故答案为:(x+2)(x﹣1).

如图,△ABC中,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,若△ABD的周长为6cm,则AB+AC=___cm.

【答案】6
【解析】分析: 根据中垂线的性质:垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得DC=DB,继而可确定△ABD的周长
详解: ∵l垂直平分BC,
∴DB=DC,
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm.
故答案为:6.

如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x>0)与正比例函数y=kx、 (k>1)的图象分别交于点A、B,若∠AOB=45°,则△AOB的面积是________.

【答案】2
【解析】作BD⊥x轴,AC⊥y轴,OH⊥AB(如图),设A(x1,y1),B(x2 , y2),根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2;将反比例函数分别与y=kx,y=联立,解得x1=,x2=,从而得x1x2=2,所以y1=x2, y2=x1, 根据SAS得△ACO≌△BDO,由全等三角形性质得AO=BO,∠AOC=∠BOD,由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°,根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO,根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.
如图:作BD⊥x轴,AC⊥y轴,OH⊥AB,

设A(x1,y1),B(x2 , y2),
∵A、B在反比例函数上,
∴x1y1=x2y2=2,

解得:x1=
又∵
解得:x2=
∴x1x2=×=2,
∴y1=x2, y2=x1,
即OC=OD,AC=BD,
∵BD⊥x轴,AC⊥y轴,
∴∠ACO=∠BDO=90°,
∴△ACO≌△BDO(SAS),
∴AO=BO,∠AOC=∠BOD,
又∵∠AOB=45°,OH⊥AB,
∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°,
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO,
∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2,
故答案为:2.

已知圆锥的底面半径长为5,侧面展开后得到一个半圆,则该圆锥的母线长为

【答案】10.
【解析】
试题解析:设母线长为x,根据题意得
2πx÷2=2π×5,
解得x=10.

如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB于D,且∠COD=60°,E为弧BC上一动点(不与点B、C重合),过E分别作于EF⊥AB于F,EG⊥OC于G.现给出以下四个命题:
①∠GEF=60°;②CD=GF;③△GEF一定为等腰三角形;④E在弧BC上运动时,存在某个时刻使得△GEF为等边三角形.
其中正确的命题是_____.(写出所有正确命题的序号)

【答案】①②④
【解析】
①根据四边形的内角和定理即可证到∠GEF=60°;②连接OE,取OE的中点O′,连接O′F,GO′,易证点E、G、O、F四点共圆,延长GO′交 O′于R,连接RF.利用三角函数可证到CD=GF;③运用反证法就可得到△GEF不一定为等腰三角形;④由于∠GEF=60°,要使得△GEF为等边三角形,只需要EG=EF即可,在 O′中只需∠COE=∠BOE即可,在 O中,只需点E在的中点即可.
①∵EF⊥AB,EG⊥OC,
∴∠EGO=∠EFO=90°.
∴∠GEF+∠GOF=180°.
∵∠GOF=180°?∠COD=180°?60°=120°
∴∠GEF=180°?120°=60°.
故①正确.
②连接OE,取OE的中点O′,连接O′F,GO′,如图所示.
∵∠EGO=∠EFO=90°,点O′是OE的中点,
∴O′G=O′F=OE.
∴点E. G、O、F在以点O′为圆心,O′O为半径的圆上.
延长GO′交O′于R,连接RF.
则有∠GRF=∠GEF=60°.
∵GR是O′的直径,∴∠GFR=90°.
∴GF=GR?sin∠GRF=OE?sin60°=OE=OC=CD.
故②正确.
③假设△EGF一定是等腰三角形,
∵∠GEF=60°,∴△EGF一定是等边三角形.
∴EG与EF一定相等.
但E为弧BC上一动点(不与点B. C重合),显然EG与EF不一定相等.
∴假设不成立.
故③错误.
④当点E运动到的中点时,
则有∠COE=∠BOE.
∴EG=EF.
∵∠GEF=60°,
∴△EGF是等边三角形.
故④正确.
故答案为:①②④.

解方程:
(1)(x+8)(x﹣6)=72.
(2)

【答案】(1)x1=10,x2=﹣12;(2)x=3.
【解析】
(1)先把要求的式子整理成x2+2x﹣48=72,再把常数项移到等号的右面,然后在左右两边同时加上一次项系数一半的平方,再进行开方即可.
(2)首先将原方程两边同时乘以化为一元一次方程,然后去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1求出x的值,最后检验.
解:(1)(x+8)(x﹣6)=72,
x2+2x﹣48=72,
x2+2x+1=121,
(x+1)2=121,
x+1=±11,
x1=10,x2=﹣12.
(2)
去分母得1﹣3(x﹣2)=﹣(x﹣1),
解得x=3,
经检验x=3是原分式方程的根.

如图,在?ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,求证:四边形AECF是平行四边形.

【答案】证明见解析
【解析】试题分析:连接AC交BD于O点,依据平行四边形的对角线互相平分得到AO=OC,OB=OD,然后再证明OE=OF,最后依据对角线相互平分的四边形是平行四边形进行证明即可.
试题解析:
连接AC交BD于O点.

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又∵BE=DF,
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.

一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球,随机地摸出一个小球不放回,再随机地摸出一个小球.
(1)采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果;
(2)求摸出的两个小球号码之和等于4的概率.

【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)画树状图列举出所有情况;
(2)让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率.
解:(1)根据题意,可以画出如下的树形图:

从树形图可以看出,两次摸球出现的所有可能结果共有6种.
(2)由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果,
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=

如图,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角45°,然后沿着坡度为i=1:的坡面AD走了200米达到D处,此时在D处测得山顶B的仰角为60°,求山高BC(结果保留根号).

【答案】BC= 100+100(米).
【解析】
作DF⊥AC于F,根据i=1:,AD=200米,可知tan∠DAF=,可知∠DAF=30°,进而求出DF的长度,根据所给角的度数可知△ABD是等腰三角形,AD=BD,解直角三角形BDE可求出BE,根据BC=BE+CE求出BC即可.
作DF⊥AC于F.

∵DF:AF=1:,AD=200米,
∴tan∠DAF=
∴∠DAF=30°,
∴DF=AD=×200=100(米),
∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°,
∴四边形DECF是矩形,
∴EC=DF=100(米),
∵∠BAC=45°,BC⊥AC,
∴∠ABC=45°,
∵∠BDE=60°,DE⊥BC,
∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°,
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°,∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°,
∴∠ABD=∠BAD,
∴AD=BD=200(米),
在Rt△BDE中,sin∠BDE=
∴BE=BD?sin∠BDE=200×=100(米),
∴BC=BE+EC=100+100(米).

如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°.
(1)尺规作图作出AB的垂直平分线DE,分别与AC、AB交于点D、E.并连结BD;(保留作图痕迹,不写作法)

(2)证明:△ABC∽△BDC.

【答案】(1)画图见解析;(2)证明见解析.
【解析】(1)利用基本作图作线段AB的垂直平分线;
(2)先根据线段垂直平分线的性质得到BD=AD,则∠ABD=∠A=40°,再通过计算得到∠DBC=∠BAC,然后根据相似三角形的判定方法得到△ABC∽△BDC.
详(1)解:如图,DE为所求;

(2)证明:∵DE是AB的垂直平分线,
∴BD=AD,
∴∠ABD=∠A=40°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=80°-40°=40°,
∴∠DBC=∠BAC,
∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC.

某药厂销售部门根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测,井建立如下模型:设第t个月该原料药的月销售量为P(单位:吨),P与t之间存在如图所示的函数关系,其图象是函数P=(0<t≤8)的图象与线段AB的组合;设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q(单位:万元),Q与t之间满足如下关系:Q=
(1)当8<t≤24时,求P关于t的函数解析式;
(2)设第t个月销售该原料药的月毛利润为w(单位:万元)
①求w关于t的函数解析式;
②该药厂销售部门分析认为,336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围,求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值.

【答案】(1)P=t+2;(2)①当0<t≤8时,w=240;当8<t≤12时,w=2t2+12t+16;当12<t≤24时,w=﹣t2+42t+88;②此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨,最大值为19吨.
【解析】(1)设8<t≤24时,P=kt+b,将A(8,10)、B(24,26)代入求解可得P=t+2;
(2)①分0<t≤8、8<t≤12和12<t≤24三种情况,根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式;
②求出8<t≤12和12<t≤24时,月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围,再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值,二者综合可得答案.
(1)设8<t≤24时,P=kt+b,
将A(8,10)、B(24,26)代入,得:

解得:
∴P=t+2;
(2)①当0<t≤8时,w=(2t+8)×=240;
当8<t≤12时,w=(2t+8)(t+2)=2t2+12t+16;
当12<t≤24时,w=(-t+44)(t+2)=-t2+42t+88;
②当8<t≤12时,w=2t2+12t+16=2(t+3)2-2,
∴8<t≤12时,w随t的增大而增大,
当2(t+3)2-2=336时,解题t=10或t=-16(舍),
当t=12时,w取得最大值,最大值为448,
此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12,在t=12时取得最大值14;
当12<t≤24时,w=-t2+42t+88=-(t-21)2+529,
当t=12时,w取得最小值448,
由-(t-21)2+529=513得t=17或t=25,
∴当12<t≤17时,448<w≤513,
此时P=t+2的最小值为14,最大值为19;
综上,此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨,最大值为19吨.

如图,在直角坐标系平面内,函数y=(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4)、B(a,b),其中a>1,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D,连接AD,AB,DC,CB.
(1)求反比例函数解析式;
(2)当△ABD的面积为S,试用a的代数式表示求S.
(3)当△ABD的面积为2时,判断四边形ABCD的形状,并说明理由.

【答案】(1)反比例函数解析式为y=;(2)S=2a﹣2;(3)四边形ABCD为菱形,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)把A(1,4)代入y=,用待定系数法求解即可;
(2)把B(a,b)代入(1)中求得解析式中,求出b与a的关系,根据三角形的面积公式列式即可;
(3)把S=2代入(2)中的解析式中,求出a的值,可知四边形ABCD的对角线互相垂直平分,从而可证明四边形ABCD为菱形.
解:(1)把A(1,4)代入y=得m=1×4=4,
所以反比例函数解析式为y=
(2)把B(a,b)代入y=得b=
所以S=?a?(4﹣)=2a﹣2;
(3)四边形ABCD为菱形.理由如下:
当S=2时,2a﹣2=2,解得a=2,
所以AC与BD互相垂直平分,
所以四边形ABCD为菱形.

已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O于点E.

(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;
(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;
②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)

【答案】(1)AE=CE;(2)①;②
【解析】试题(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.
试题解析:(1)AE=CE.理由:
连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,∴AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD?AF.
①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC?3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===
②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=
∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC?(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED==

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